Nombres factorials

Nombre Factorial… 3! 

I es que, quan en una expresió matemàtica apareix un signe d'exclamació (!) després d'un nombre, està indicant la operació factorial sobre aquest nombre. En el nostre cas concret, 3! es el factorial de 3 ó 3 factorial ( es pot dir de les dues maneres)

Però…

Què és el factorial?

Com a funció en si, el factorial d'un nombre enter positiu n, es el producte de tots els nombres enters positius desde n fins 1.

Per exemple, el factorial de 5 sería:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

I, en general, el factorial de n es:

n! = n · (n-1) · (n-2) · … · 4 · 3 · 2 · 1

 I… Per què serveix?

Bona pregunta.

Els factorials s'utilitzen en moltes àreas de les matemàtiques com l'anàlisis matemàtic i la teoria dels nombres, però particularment en combinatoria i, per mig d' ella, en el càlcul de probabilitats.

De fet, en la seva aplicació més sencilla dins de la combinatoria, podem dir que el factorial de n representa el nombre de formes diferents d'ordenar n objectes diferents (això es coneix com a permutació sense repetició)

Imaginem que tens tres objectes i vols veure des de quantes formes pots col·locarlos…

Aquesta és una d'elles...

Ara la qüestió  és anar cambiant l'ordre

Ens han sortit 6 formes diferents. No ha sigut molt complicat la veritat.

Però ara imagina que s'afageixen uns quants més al grup i volem fer el mateix...

¿T' animes?

Sembla que la cosa es complica amb tants personatges.

De fet et recomano que no ho intentis "a mà" com hem fet abans. 

Millor anem a utilitzar el que t'he explicat fa un moment, allò de que el factorial de n era el nombre de formes diferents d'ordenar n objectes diferents.

Com tenim 8 objectes diferents, el nombre de formes possibles d'ordenar-los serà…

8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320

¡40.320 formes diferents!

Ja et deia que era millor no intentar-ho.

I ara, pensem en alguna cosa que probablement sigui més proper a molts dels que esteu llegint aquesta entrada ... una classe de 25 alumnes de quantes formes diferents podeu ordenar-los?

Anem a veure-ho amb el que ja sabem ...

25! = 25 · 24 · 23 · 22 · 21 · 20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 =

15.511.210.043.330.985.984.000.000

'15.511.210.043.330.985.984.000.000 formes diferents d'ordenar-los!

Oi que no sembla el que pensaves?

Resulta sorprenent com partint d'una quantitat relativament petita com és 25 es pugui arribar a un nombre tan gran.

Però és així, amb poc que augmenti el nombre d'objectes les possibilitats es disparen.

I ja per acabar, dues coses que sí que convé saber.

La primera és ...

Quin és el factorial de zero?

Bé, començaré dient-te que el factorial de zero és un:

0! = 1

La primera definició que vam veure de factorial com a producte era per nombres enters positius majors o iguals que 1, i el 0 no ho és, així que no ens val per deduir-ho.

Però tampoc sembla tenir molt sentit pensar en quantes formes diferents tenim d'ordenar zero objectes. A no ser que pensem que l'únic que podem fer sigui "deixar les coses com estan" i això es igual a una sola cosa i, per tant, 1.

En realitat la justificació és pura matemàtica. 

Però no et trenquis el cap amb això, queda't amb que 0! = 1 per a quan et aparegui en alguna expressió.

L'altra cosa que volia comentar, això t'agradarà més...

Si tens una calculadora científica (no cal que sigui massa avançada) pots trobar-hi una tecla amb "n!" O "x!", Que et servirà per calcular directament el factorial del nombre que vulguis. No necessites fer totes les multiplicacions que hem vist abans.

Molt bé nois, amb això acabo el dia d'avuí, espero que us hagi sigut interessant, ens veiem en el pròxim post!!!!!

Alba Cotolí.